概述

本题要求计算函数 ~f(x) = x - 0.5 + \arctan(\cot(\pi x)) / \pi~ 在 ~T~ 个询问点 ~x~ 上的取值，允许 ~10^{-6}~ 的误差。核心解法是利用三角恒等式把 ~f(x)~ 化简为下取整函数 ~\lfloor x \rfloor~，从而避免对原式做高精度浮点计算。

分析

核心观察

由 ~\cot \theta = \tan(\pi/2 - \theta)~ 以及 ~\arctan~ 返回主值区间的性质，可以把 ~\arctan(\cot(\pi x))~ 精确表示成只与 ~x~ 小数部分有关的量；代入原式后恰好消去 ~x~ 与 ~-0.5~，最终结果就是 ~\lfloor x \rfloor~。

思路

设 ~x = m + s~，其中 ~m = \lfloor x \rfloor~，~s = \{x\}~ 为小数部分。由于 ~x \notin \N~，有 ~s \in (0, 1)~。

因为 ~\cot~ 以 ~\pi~ 为周期：

$$\displaystyle \cot(\pi x) = \cot(\pi(m + s)) = \cot(\pi s) $$

又 ~\cot(\pi s) = \tan(\pi/2 - \pi s) = \tan(\pi(1/2 - s))~，且 ~0 < s < 1~ 保证 ~\pi(1/2 - s) \in (-\pi/2, \pi/2)~，恰好落在 ~\arctan~ 的主值区间内，于是：

$$\displaystyle \arctan(\cot(\pi x)) = \pi\left(\frac{1}{2} - s\right) $$

代入原式：

$$\displaystyle f(x) = m + s - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - s = m = \lfloor x \rfloor $$

因此每个询问的答案就是 ~\lfloor x \rfloor~。若直接按原式用浮点计算 ~\cot(\pi x)~，当 ~x~ 接近 ~10^9~ 时 ~\pi x~ 的浮点表示误差会使结果完全失真，所以必须使用化简后的形式。

具体示例

以 ~x = 1.72~ 为例：~m = 1~，~s = 0.72~，则 ~\arctan(\cot(\pi x)) = \pi(0.5 - 0.72) = -0.22\pi~，于是 ~f(1.72) = 1.72 - 0.5 - 0.22 = 1.00~。同理，直接验证 ~\lfloor 1.10 \rfloor = 1~、~\lfloor 1.72 \rfloor = 1~、~\lfloor 2.34 \rfloor = 2~，与样例输出一致。

算法步骤

1. 读入询问组数 T。
2. 对每个询问，读入浮点数 x，计算 ans 为 ~\lfloor x \rfloor~（可用 floor 函数实现）。
3. 输出 ans，保留 ~6~ 位小数。

复杂度分析

时间：~O(T)~

空间：~O(1)~

实现注意事项

• 输入保证 ~x \notin \N~，即 ~\sin(\pi x) \ne 0~，~f(x)~ 总有定义，且小数部分 ~s \in (0, 1)~ 使主值恒等式严格成立。
• 切勿直接按原式计算：~x~ 最大可达 ~10^9~，double 无法精确表示 ~\pi x~，取 ~\cot~ 时会严重失真。
• 因 ~x \ge 0~ 且不是整数，~\lfloor x \rfloor~ 即为其整数部分，用 floor 函数或向零取整均可。
• 输出保留 ~6~ 位小数与样例格式一致；本题按误差判定，直接输出整数同样正确。
• ~T \le 10^4~，输入数据较多，建议开启快速输入输出。

源代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    cout << fixed << setprecision(6);
    while (T--) {
        double x;
        cin >> x;
        cout << floor(x) << '\n';
    }
    return 0;
}

import sys
from math import floor

def main():
    data = sys.stdin.buffer.read().split()
    t = int(data[0])
    out = []
    for i in range(1, t + 1):
        x = float(data[i])
        out.append(f"{floor(x):.6f}")
    sys.stdout.write("\n".join(out))

if __name__ == "__main__":
    main()